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如何计算圆周率 PI
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为什么要算 PI?

计算机最原始的用途就是进行人类无法完成的复杂运算,算 PI 就是这样的运算之一。 虽然算 PI 本身没有多大的实际意义,但是对于计算机爱好者来说作为一种编程的挑战,还是很有意思的。 算 PI 看似简单,其实它还牵涉到一些有用的数学知识。

第一类算法:arctan 的级数展开
  • PI/4 = 4 arctan(1/5) - arctan(1/239) (1)
  • arctan(x) = x - x3/3 + x5/5 - x7/7 + .... (2)

很容易想到,要得到超高精度的 PI 值,实数在计算机中必须以数组的形式进行存取, 数组的大小跟所需的有效位数成正比。在这个算法中,PI 的有效位数 n 随 (2) 的求和项数线性增加。而为计算 (2) 中的每一项, 需要进行超高精度实数除以小整数(52, 2392, 2k+1)的循环, 循环所需次数也跟 n 成正比。所以,这个算法总的时间复杂度为 O(n2)。

这个算法的优点是简单,而且只需要进行整数运算。下面给出我写的算 PI 程序。 在程序中,我采用了一些提高速度的措施:超高精度实数以数组的形式进行存取, 数组元素的类型为 64 位整数(long long),每个元素储存 12 个十进制位;对 xk (x = 1/5, 1/239) 的头部和尾部的 0 的数量进行估计,只对非 0 的部分进行计算。

  • pi.cpp C++ 源程序,在 Linux 下以 g++ pi.cpp -o pi -O2 编译
  • pi.s 在 g++ 生成的汇编程序的基础上进行修改,速度更快,在 Linux 下以 g++ pi.s -o pi 编译

另外,还有许多跟 (1) 类似的式子,但不常用。例如:

  • PI/4 = arctan(1/2) + arctan(1/3)
  • PI/4 = 8 arctan(1/10) - arctan(1/239) - 4 arctan(1/515)
第二类算法:与 1/PI 有关的级数
  • 1/PI = (sqrt(8) / 9801) sumk=0~inf { [(4k)! (1103 + 26390k)] / [(k!)4 3964k] } (Ramanujan)
  • 1/PI = (sqrt(10005) / 4270934400) sumk=0~inf { [(6k)! (13591409 + 545140134k)] / [(k!)3 (3k)! (-640320)3k] } (Chudnovsky)

以上两个级数(还有其它类似形式的级数,但不常用)比起 arctan 的泰勒级数要复杂得多。 虽然仍然是线性收敛,总的时间复杂度也仍然是 O(n2),但它们的收敛速度相当快, (Ramanujan) 每项可以增加 8 位有效数字, (Chudnovsky) 每项可以增加 14 位。

在这个算法中,除了要进行超高精度实数(数组形式)和小整数的运算外, 还有一次超高精度实数的开方和倒数的运算,这需要用到 FFT(快速傅立叶变换),在下文叙述。

第三类算法:算术几何平均值和迭代法

算术几何平均值(Arithmetic-Geometric Mean, AGM) M(a, b) 定义如下:

  • a0 = a, b0 = b
    ak = (ak-1 + bk-1) / 2, bk = sqrt(ak-1 bk-1)
    M(a, b) = limk->inf ak = limk->inf bk

然后,由椭圆积分的一系列理论(抱歉,过程我不懂)可以推导出如下公式:

  • a0 = 1, b0 = 1 / sqrt(2)
    1/PI = { 1 - sumk=0~inf [2k (ak2 - bk2)] } / 2M(a0, b0)2 (AGM)

根据这条公式可以制定适当的迭代算法。在迭代过程中,有效位数随迭代次数按 2 的指数增加, 即每迭代一次有效位数乘 2。算法中的超高精度实数的乘、除、开方等运算需要使用 FFT,在下文叙述。 综合考虑 FFT 的时间复杂度,整个算法的时间复杂度约为 O(n log(n)2)。

除了 (AGM) 以外,还有其它的迭代序列, 它们具有同样的时间复杂度。例如下面的这个序列将按 4 的指数收敛到 1/PI:

  • y0 = sqrt(2) - 1, a0 = 6 - 4 sqrt(2)
    yk = [1 - sqrt(sqrt(1 - yk-14))] / [1 + sqrt(sqrt(1 - yk-14))], ak = (1 + yk)4 ak-1 - 22k+1 yk (1 + yk + yk2)
    1/PI = limk->inf ak (Borwein)
FFT

如上所述,第二和第三类算法不可避免地要涉及超高精度实数(数组形式存取的多位数)的乘、除、 开方等运算。多位数乘法如果按照常规方法来计算,逐位相乘然后相加,其时间复杂度将达到 O(n2)。使用 FFT 可大大减少计算量。

设有复数数组 a[k] 和 b[k] (k=0~n-1),正向和反向的离散傅立叶变换(DFT)定义如下: (i = sqrt(-1))

  • b = FFTforward(a) : b[k] = sumj=0~n-1 ( a[j] e-i*j*2PI*k/n ) (3)
  • b = FFTbackward(a) : b[k] = (1/n) sumj=0~n-1 ( a[j] ei*j*2PI*k/n ) (4)

(3)(4) 中的 (1/n) 可以放在任何一个式子中,也可以拆成 (1/sqrt(n)) 同时放在两个式子中, 目的是保证正向和反向傅立叶变换以后不会相差一个因子。

当 n 的所有素因子均为小整数,尤其是当 n 为 2 的整数次幂的时候, 使用适当的算法经过仔细的协调,可以避免多余的计算,使离散傅立叶变换 (3)(4) 减少至 O(n log(n)) 的时间复杂度,即所谓的快速傅立叶变换(FFT)。具体的细节请查阅相关书籍。 下面给出我写的一段 FFT 程序,仅供参考。另外也有已经开发的 FFT 函数库, 例如 FFTW ,可以直接使用。

利用 FFT,要计算 n1 位和 n2 位的两个多位数乘法,可以这样进行: 开辟两个长度为 n(n>=n1+n2,取 2m 最佳) 的复数数组, 将两个多位数从低位到高位分别填入,高位补 0。对两个数组分别进行正向傅立叶变换。 将得到的两个变换后的数组的对应项相乘,然后进行反向傅立叶变换,最后得到一个结果数组。 由于傅立叶变换是在复数域中进行的,因此还要对结果数组进行取整和进位,才能得到最终的乘积。

值得留意的是傅立叶变换的精度问题。我们知道,在计算机中实数用单精度数或双精度数表示, 它们会存在一定的误差。在计算多位数乘法时,n 往往是一个很大的数字, 傅立叶变换过程中需要对数组的每一项进行求和,如何保证精度带来的误差不会因为求和而超出允许的范围? 我的观点是必须使用双精度实数,而且由于统计特性,精度带来的误差在求和过程中不会很大, 一般不会影响计算的正确性。如果需要保证计算的正确性,我想到两种检查方法。第一种是取模验算。 例如,如果乘数和被乘数对 17 的模分别是 8 和 6,那么积对 17 的模就应该是 14。 第二种是检查运算结果中浮点数偏离整数的最大值。如果偏差只有比如 10-3 量级, 我们可以认为这个尺度的乘法运算很安全;如果偏差达到 0.5,说明运算已经出错了; 如果偏差达到 0.1 量级,那也比较危险,也许换个别的乘数和被乘数就溢出了。

多位数的倒数和开方可以通过牛顿迭代求根法转化为乘法运算。例如,要计算 x = 1/a , 根据牛顿迭代法令 f(x) = 1/x - a ,可以得到以下迭代序列:

  • x0 ~= 1/a
    xk = xk-1 - f(xk-1)/f'(xk-1) = 2xk-1 - axk-12 (5)

要计算 x = sqrt(a) ,可以先计算 x = 1 / sqrt(a) ,令 f(x) = 1/x2 - a , 可以得到以下迭代序列:

  • x0 ~= 1 / sqrt(a)
    xk = xk-1 - f(xk-1)/f'(xk-1) = (3/2)xk-1 - (1/2)axk-13 (6)

(5)(6) 均以 2 的指数收敛到所求结果。还存在其它更复杂一些的迭代序列,它们以更高的指数收敛,在此不提。 不过需要提醒的是,跟 (AGM) 不同,这里 (5)(6) 中的 x0 只是 1/a 和 1 / sqrt(a) 的约值,在前几次的迭代中不必进行满 n 位数的乘法运算, 因而可以减少计算量。

示例程序

作为 AGM 和 FFT 算 PI 的完整过程演示,这里是我新写的算 PI 程序。很遗憾, 我的程序比网上可以找到的其它算 PI 程序慢大约 100 倍,而且消耗更多的内存。:-( 目前还不清楚它的瓶颈所在。不管怎么说,它总算是我的第一个 AGM 和 FFT 算 PI 程序,祝贺!:-)

综述

以上介绍了三类算 PI 的算法。第一类算法的速度最慢,基本上已经过时。 后两类算法的速度目前相差不大,最为常用。迭代法虽然在时间复杂度上有理论上的优势, 但实现起来较为复杂,实际上也并不见得比 1/PI 级数法快。

限于作者水平,本文观点肯定存在有待指正的地方,欢迎讨论。(2004.12.31)